数字图像处理课堂笔记


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​ 这门课好难,好多公式,好多性质。

​ 但是安老师人很好,而且还是个游戏选手,每次抽人回答问题时会发红包然后点抢红包的人回答问题,经常举一些DIP在游戏上应用的例子。如果跟着老师的思路走的话不太容易走神,一步一步跟着老师思考就可以了,但是一堂课的量我觉得有点大,尤其是我这种没有信号基础的,下了课要消化很久很久。

​ 而且选课安排非常迷惑,计科他们要下学期才能选这门课,而且下学期的课有个老师是这学期计算机视觉的老师,我感觉DIP和CV一个老师上比较好。

​ 我不手打公式了,我直接截图算了,我发现我其他笔记手打的公式在githubpage不显示。

序论

​ 老师吹水环节。

第三章—正交变化—傅里叶变化

数字图像处理的方法主要分为两大类:

一是空间域处理法(或称空域法)

一是频域处理法(或称变换域法)

在频域处理中最为关键的预处理便是变换处理。

​ 这种变换一般是线性变换,其基本线性运算式是严格可逆的,并且满足一定的正交条件,因此,也将其称作酉变换。

​ 在图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码等处理中。本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论。

傅里叶变换

​ 傅里叶变换是大家所熟知(我并不熟qaq)的正交变换。在一维信号处理中得到了广泛应用,把这种处理方法推广到图像处理中是很自然的事。

傅里叶变换的定义及基本概念

如果满足狄里赫莱条件:

  1. 具有有限个间断点
  2. 具有有限个极值点
  3. 绝对可积

则有下列二式成立:

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其中 x 时域变量,u为频域变量。

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通常把以上公式称为傅里叶变换对

函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量,它可以由下式表示:

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或写成指数形式

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(可以用复数的几何性质理解)

傅里叶变换广泛用于频谱分析:

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  • 例 求周期函数的傅里叶谱

一个周期为T的信号f(x)可用傅里叶级数来表示,即:

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由上面的例子可以建立起下面几在这里插入图片描述个概念:

  1. 只要满足狄里赫莱条件,连续函数就可以进行傅里叶变换,实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。
  2. 连续非周期函数的傅里叶谱是连续非周期函数,连续周期函数函数的傅里叶谱是离散非周期函数

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傅里叶变换的性质*

​ 傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算处理提供了极大便利。这里,仅就二维傅里叶变换为例,列出其主要的几个性质:

  1. 可分性

    这个性质说明一个二维傅里叶变换可用二遍一维傅里叶变换来实现

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  2. 线性

    傅里叶变换是线性算子,即

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  3. 共轭对称性

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  1. 旋转性

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  1. 比例变换特性

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  1. 帕斯维尔定理

这个性质也称为能量保持定理。如果F(u,v)是f(x,y)的傅里叶变换,那么有下式成立

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这个性质说明变换前后并不损失能量。

  1. 相关定理

    如果f(x),g(x)为两个一维时域函数,f(x,y)和g(x,y)为两个二维空域函数,那么相关函数定义为:

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​ 由以上定义可以引出傅里叶变换的一个重要性质。这就是相关定理,即

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  1. 卷积定理

如果f(x)和g(x)是一维时域函数,f(x,y)和g(x,y)是二维空域函数,那么卷积函数定义为:

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由此可得,傅里叶变换的卷积定理如下:

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离散傅里叶变换

​ 连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具,这在理论分析中具有很大价值;离散傅里叶变换使得数学方法与计算机技术建立了联系,这就为傅里叶变换这一数学工具在实用中开辟了一条宽阔的道路。因此,它不仅仅有理论价值,而且在某种意义上说它也有更重要的实用价值。

离散傅里叶变换的定义

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​ 如果要对一个连续信号进行计算机处理,那么就必须经过离散化处理。这样对连续信号进行的傅里叶变换的积分过程就会自然地蜕变为求和过程。离散傅里叶变换就是直接处理离散时间信号的傅里叶变换。

离散傅里叶变换的性质

  1. 线性

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  1. 对称性

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  1. 时间位移

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  1. 频率位移

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  1. 偶函数

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  1. 奇函数

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  1. 卷积定理

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  1. 相关定理

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  1. 帕斯维尔定理

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快速傅里叶变换

​ 随着计算机和数字电路的迅速发展,离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。然而,它的计算量较大,运算时间长,在某种程度上限制了它的使用范围。快速算法可大大提高运算速度,在某些应用场合已能作到实时处理。

​ 快速傅里叶变换并不是一种新的变换,它是离散傅里叶变换的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换中的多余运算的基础上,消除这些重复工作的思想指导下得到的,所以在运算中大大节省了工作量,达到了快速运算的目的。

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​ 从上面的运算显然可以看出,要得到每一个频率分量,需进行N次乘法和N-1次加法运算。要完成整个变换需要N2次乘法和N(N-1)次加法运算。当序列较长时,必然要花费大量的时间。

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按时间分解

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按频率分解

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用计算实现快速傅里叶变换

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  1. 迭代次数r的确定

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  1. 对偶节点的计算

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  1. 加权系数的计算

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  1. 重新排序

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二维离散傅里叶变换

我不想写了。

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用这个性质可以二维用一维计算(好)

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第三章—正交变换—离散余弦变换

​ 图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外,还有其他一些有用的正交变换。其中离散余弦变换就是一种,简写为DCT。

离散余弦变换的定义

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式(3—77)和式(3—78)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义是采用矩阵式。如果令N=4,那么由一维解析式定义可得如下展开式:

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离散余弦变换的正交性

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​ 显然,这与一维DCT的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的,所以DCT也是正交的。另外,离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示,当N=4时:

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离散余弦变换的计算

​ 与傅里叶变换一样,离散余弦变换可以由定义出发进行计算,但计算量太大,在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。首先,从定义出发,作如下推导:

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​ 所以在作离散余弦变换时,可以把序列长度延拓为2N,然后作离散傅里叶变换,产生的结果取其实部便可得到余弦变换。

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离散余弦变换的快速算法:

利用FFT解决离散余弦变换的快速运算问题。

沃尔什变换

离散傅里叶变换(基为指数函数)和余弦变换(基为余弦函数)的快速算法也都要用到复数乘法,占用时间仍然比较多。某些应用领域需要更为有效的变换方法。沃尔什变换(基为沃尔什函数)就是其中的一种。

拉德梅克函数

 拉德梅克函数集是一个不完备的正交函数集,由它可以构成完备的**沃尔什函数**。这里首先介绍拉德梅克函数。拉德梅克函数包括n和t两个自变量,用R(n,t)来表示拉德梅克函数:

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沃尔什函数

沃尔什函数是完备的正交函数系,其值只取 +1和-1.按排列次序来定义有:

第一种是按沃尔什排列或按列率排列来定义;

第二种是按佩利排列定义(自然序数);

第三种是按哈达玛排列来定义(第三定序法)。

按沃尔什排列的沃尔什函数

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再将格雷码倒转:

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按佩利排列的沃尔什函数

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就是自然二进制码,再倒转

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按哈达玛排列的沃尔什函数

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这个在下一节多次用到。

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哈达玛排列直接反转。

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第三章—正交变换—沃尔什函数的性质

​ 不得不说的是,这是我听最认真的一节课,因为他上课前给我们放了一段相声(?)

沃尔什函数的性质

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​ 这个一开始取1的性质在后面会多次用到!!!!!

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乘法定理

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沃尔什函数有归一化正交性

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沃尔什变换

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离散沃尔什哈达玛变换

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离散沃尔什变换的性质

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线性

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模2移位性质

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模2卷积定理(时间)

模二移位卷积的沃尔什变换等于两个沃尔什变化的乘积

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模二移位卷积的沃尔什变换等于两个沃尔什变化的乘积

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模2移位列率卷积定理

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模2自相关定理

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帕斯维尔定理

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循环移位定理

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快速沃尔什变换

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多维变换

两种方法。

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第四章 图像增强

​ 图像增强是指按特定需要突触图像中某些信息,同时,削弱或去除某些不需要信息的处理方法。其主要目的是使处理后的图像对某种特定的应用来说,比原始图像更适用。

​ 因此,这类处理是为了某种应用而去改善图像质量的。处理的结果使图像更适合于人的视觉特性或机器识别系统。

​ 应该明确的是增强处理不能增强(加)原始图像的信息,只能增强对某种信息的辨别能力,而这种处理有可能损失一些其他信息。图像增强是数字图像处理的基本内容之一。

​ 图像增强技术主要包括:

  • 直方图修改处理
  • 图像平滑化处理
  • 图像尖锐化处理
  • 彩色处理技术

​ 在实用中可以采用单一方法处理,也可以采用几种方法联合处理,以便达到预期的增强效果。

​ 图像增强技术可分成两大类:

  • 频域处理法
  • 空域处理法

频域处理法

​ 例如,可以强调图像中的低频分量使图像得到平滑,也可以强调图像中的高频分量使图像的边缘得到增强等。

​ 以上就是频域处理法的基本原理。

空域处理法

​ 空域法是直接对图像的像素进行处理,基本上是以灰度映射变换为基础。所用的映射变换取决于增强的目的。例如,增加图像的对比度,改善图像的灰度层次等处理均属于空域法处理。

​ 应该特别提及的是增强后的图像质量好坏主要靠人的视觉来评定,而视觉评定是一种高度主观的处理。因此,为了一种特定用途而采用的一种特定处理方法,得到一幅特定图像,对其质量的评价方法和准则也是特定的,所以,很难对各种处理定出一个通用标准。由此可知,图像增强没有通用理论。

图像

  1. 图像的数学表示

    图像是传递信息的重要媒介,当我们用计算机来处理图像时,就需要用数学来描述它们,用数学方法来描述图像就需要考虑其点的性质,也就是说,一幅图像可以看成是坐标点上强度的集合。最普遍的表达式如下:

    当我们研究的是静止图像时,则上式与时间t无关。党研究的是单色图像时,显然与波长无关。对于平面图像来说则与坐标z无关。

    因此,对于静止的、平面的、单色的图像来说其数学表达式可简化为:

    人们所感受到的图像一般是由物体反射的光组成的。f(x,y)可看成由两个分量组成:一个是景物上的入射光,另一分量使由景物自身特性决定的反射特性,分别被称为入射分量和反射系数。如果用i(x,y)表示入射分量,用r(x,y)表示反射系数,那么

  2. 图像的模型及信息量

    图像是信源的一种,由于产生信息的物理机理十分复杂,因此,不同信源可遵循的物理模型也各不相同。通常由两大类模型:

    A. 确定性模型

    B.统计模型

​ 图像的统计特性表征,认为图像信号是一个随机信号,其数学描述则是振幅或相位的分布函数、概率密度函数以及相关矩、中心矩、功率谱等。

​ 利用这些参数来表征图像,建立图像信息的数学模型,也可对图像信息进行有效的分析及处理。

图像的信息量

  1. 离散的图像信息的熵

当这些消息出现的概率彼此相等时,这个信源的熵最大。

  1. 连续的图像信息的熵

对于离散的图像信息来说,它只输出有限个符号。如果输出的不是有限个而是无限个,那么这样的图像信息叫做连续图像信息。

直方图修改技术

​ 灰度级直方图描述了一幅图像的概貌,用修改直方图的方法增强图像是实用而有效的处理方法之一。

直方图

直方图修改技术的基础

直方图均衡化处理


文章作者: XX
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